By Arnaudies

ISBN-10: 2729858229

ISBN-13: 9782729858223

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It's general that during our time sc:iem:e and know-how can't be mastered with out the instruments of arithmetic; however the similar applies to an ever becoming quantity to many domain names of way of life, now not least due to the unfold of cybernetic equipment and arguments. hence, there's a broad call for for a survey of the result of arithmetic.

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Pour tout n et tout 7 6 5 , posons Pn(7) = î choisissons un réel e g ]0 , 1 [ tel que (a, /0,1 - e) € /? , et notons J l’intervalle [ 1 - e, +00 [ de R . La fonction Hn est croissante sur R * , et on a (a, /0,7) G i? pour tout 7 € J , autrement dit X C S . Pour tout n G N ^ et pour tout 7 G J , on a: Puisque (a, /0,1 “ £:) G 17 , la série numérique | Pn(l I converge. Donc la série S n > i 9^ fonctions continues de 7 converge normalement donc uniformément sur J , et sa somme est continue sur 1 .

2 °) a ) Soit une fonction continue F : IR^ —>C . Pour y G IR donné, justifier l’existence des deux fonctions: Uy : R— ’/ (/ puis vérifier que Uy et Vy sont de classe Uy = Vy . c , X> - j i F{X:y)dx"jdy et ont même dérivée. En déduire que G /C X /C. Déduire de a) ci-dessus que Mi{u'kv) < Mi(u)Mi{v ) . 3 °) a ) Soit / 6 Co et y € £cont • Pour tout réel o > 0 , déduire de 2) ci-dessus que I ( / Xn) * { 9 Xn) I f i a I/ * ^ I • déduire que f * g € C, et montrer que M i ( / * y ) < M i ( / ) M i ( y ) " " '“ b ) Soit / € Cb jCcont et y € £cont • En utilisant la suite ( ( / * (y Xn))„6M >montrer que / * y € CaO^cont et que Mi { f * g ) < M i(/)M i(y ).

En particulier, la série 2fe>o ( / r (t)d i) converge, Jï«+00 Q E{t) dt = U . Pour tout k G on a, en utilisant le résultat de 2) ci-dessus: r+ 0 0 /*+ 00 / 0 l =i -{ k + l)t _ ^ - { k + 2 ) t (“ 1 A: -f" 1 t d ’où l’on déduit: =Ê (I t I) - ï i ï ) = “h ' " " -S i) '- où 7 désigne la constante d’Euler. En tenant compte de c) ci-dessus et de II-l), il en découle: “ - ¿ ( l'09(r(»))) Intégrales euiériennes (la définition de Log ( F (a;)) ne présente aucune difficulté puisque F (R * ) C R * ). Question 4 ° Considérons les fonctions; 0 G : R, KŸ R, itŸ Chacune des fonctions partielles intégrable sur R * .

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Analyse : Intégrale, séries de Fourier, équations différentielles by Arnaudies


by Christopher
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