By Szymon Dolecki

ISBN-10: 2705687416

ISBN-13: 9782705687410

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New PDF release: The VNR Concise Encyclopedia of Mathematics

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Il s’ensuit que la fermeture et, de manière équivalente, l’intérieur et les voisinages, sont déterminés par la convergence des suites et non par des métriques particulières qui lui correspondent. Une partie A de X s’appelle ouverte si A G V(x) pour tout x E A. 2. Soit (X,d) un espace métrique. Alors (1) L ’ensemble vide et l’espace tout entier sont ouverts; (2) Toute union d’ouverts est ouverte; (3) Toute intersection finie d ’ouverts est ouverte. D émonstration . L’ensemble 0 est ouvert, car il n’y a pas de in t0 = 0 .

12) V 3 V f ( B s( x ) ) c B e(f(x)). e>0 <$>0 xex Bien entendu, toute application uniformément continue est continue. En effet, / est continue si (II. 12), c’est-à-dire S ne dépend que de e ^ . Un homéomorphisme n’est pas forcément uniformément continu. 5. Tout intervalle ouvert non vide de la droite réelle R est homéomorphe avec R. Par exemple, tan :] - f , §[-» R est un homéomor­ phisme, car c’est une fonction bijective, dont la fonction réciproque, arctan est continue. La fonction tan n’est pas uniformément continue, car si on considère une suite (x n)n telle que n = ta n x n, alors, d’après le théorème de Lagrange, il existe une suite (wn)n telle que x n < wn < xn+i et 1 = tan x n+i —ta n x n = — \ — (xn+i —x n).

D’autre part {n : x n £ X } est vide (donc fini) pour toute suite (x n)n. 3. Soit X := {0,1} muni de la topologie de Sierpinski $ : les ouverts sont 0 , {1} et {0,1}. Puisque le seul voisinage de 0 est {0,1}, toute suite converge vers 0. D’autre part, comme 1 est isolé, une suite converge vers 1 si et seulement si elle est stationnaire avec le noyau {1}. Bien sûr, une telle suite converge aussi vers 0. En résumant, 0 G Limn_^oo^n pour toute suite ; Limn-^oo xn = {0,1} si et seulement si (x n)n est stationnaire.

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Analyse fondamentale : espaces métriques, topologiques et normés by Szymon Dolecki


by Robert
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